问题:

【已知F(x)是定义在R上的奇函数,当o≤x≤1时,f(x)=x^2,当x>0时,f(x+1)=f(x)+f(1),,若直线y=kx与函数y=f(x)的图像恰有5个不同公共点,则实数k的值为?】

更新时间:2024-06-19 20:55:46 数学

问题描述:

已知F(x)是定义在R上的奇函数,当o≤x≤1时,f(x)=x^2,当x>0时,f(x+1)=f(x)+f(1),

,若直线y=kx与函数y=f(x)的图像恰有5个不同公共点,则实数k的值为?

梅珍回答:

  当0≤x≤1时,f(x)=x^2;

  当1≤x≤2时,0≤x-1≤1,f(x-1)=(x-1)^2,f(1)=1^2=1,所以当x≥1时,f(x)=(x-1)^2+1;

  当2≤x≤3时,1≤x-1≤2,0≤x-2≤1,f(x-1)=(x-2)^2+1,f(x)=(x-2)^2+2;

  …………

  当n≤x≤(n+1)时,f(x)=(x-n)^2+n.

  即f(x)=(x-[x])^2+[x],这里[x]=INT(x)=x的整数部分.

  当x0,所以

  f(-x)=(-x-[-x])^2+[-x],

  因为f(x)是奇函数,所以

  f(x)=-{(-x-[-x])^2+[-x]}=-(x-[x+1])^2-[x+1]

  y=kx与y=f(x)在原点处相交,由奇函数的对称性,在x>0时再有两个交点即可.

  由y=kx和y=(x-2)^2+2,得:

  kx=(x-2)^2+2,即x^2-(k+4)x+6=0,

  △=(k+4)^2-24,当k=-4±2√6时△=0,得:

  k=-4+2√6时,直线y=kx与曲线y=f(x)在[2,3]上相切;

  由y=kx和y=(x-1)^2+1,得:

  kx=(x-1)^2+1,即x^2-(k+2)x+2=0,

  △=(k+2)^2-8,当k=-2±2√2时△=0,得:

  k=-2+2√2时,直线y=kx与曲线y=f(x)在[1,2]上相切;

  所以

  k∈(-2+2√2,-4+2√6)时,直线y=kx与曲线y=f(x)在(0,+∞)上有两个交点

  由奇偶性,在(-∞,0)上也有两个交点,连同坐标原点,共有5个交点.

  结论:

  实数k的值为-2+2√2和-4+2√6.

梅珍回答:

  明白了?

梅珍回答:

  k为两个数:k1=-2+2√2;k2=-4+2√6。

梅珍回答:

  就取边界点。